Pengertian dan Metode Penyelesaian Persamaan Kuadrat

Rumus Matematika yang kali ini menjadi topik pembahasan kita yaitu persamaan kuadrat, semoga penjelasan tentang persamaan kuadrat yang saya berikan kali ini dapat dengan mudah dipahami.

Persamaan Kuadrat merupakan suatu persamaan polinomial berorde 2 dengan bentuk umum dari persamaan kuadrat yaitu y=ax²+bx+c  dengan a≠0 dan  koefisien kuadrat a merupakan koefisien dari x², koefisien linear b merupakan koefisien dari x sedangkan c adalah koefisien konstan atau biasa juga disebut suku bebas. Nilai koefisien a,b dan c ini yang menentukan bagaimana bentuk parabola dari fungsi persamaan kuadrat dalam ruang xy.

• a menentukan seberapa cekung/cembung, jika nilai a>0 maka parabola akan terbuka keatas. Begitu juga sebaliknya jika a<0 maka parabola akan terbuka kebawah.

• b menentukan posisi x puncak parabola atau sumbu simetri dari kurva yang dibentuk, dengan posisi tepatnya -b/2a.

• c menentukan titik potong fungsi parabola yang dibentuk dengan sumbu y atau pada saat x=0.

Rumus Kuadratis
Rumus ini biasa disebut juga dengan rumus abc, disebut demikian karena digunakan untuk menghitung akar-kar persamaan kuadrat yang tergantung nilai-nilai a, b dan c.
 dengan pembuktian sebagai berikut.
Dari bentuk umum persamaan kuadrat,

bagi kedua ruas untuk mendapatkan 

Pindahkan  ke ruas kanan

sehingga teknik melengkapkan kuadrat bisa digunakan di ruas kiri.

Pindahkan  ke ruas kanan

lalu samakan penyebut di ruas kanan.

Kedua ruas diakar (dipangkatkan setengah), sehingga tanda kuadrat di ruas kiri hilang, dan muncul tanda plus-minus di ruas kanan.

Pindahkan  ke ruas kanan

sehingga didapat rumus kuadrat

Pada rumus abc diatas terdapat istilah diskriminan atau determinan yaitu notasi dalam tanda akar b²-4ac yang terkadang dinotasikan dengan huruf D.
Persamaan kuadrat dengan koefisien-koefisien riil dapat memiliki sebuah atau dua buah akar yang berbeda dimana akar-akarnya dapat berupa bilangan riil atau bilangan kompleks. Terdapat 3 kemungkinan kasus :

1. Diskriminan bersifat positif, maka akan terdapat dua akar berbeda dan keduanya riil. Untuk persamaan kuadrat yang koefisiennya berupa bilangan bulat dan diskriminanya adalah kuadrat sempurna maka akar-akarnya adalah bilangan rasional, atau sebaliknya dapat pula merupakan bilangan irasional kuadrat.
2. Diskriminan bernilai 0 maka akan terdapat eksak satu akar dan riil. Hal ini terkadang disebut sebagi akar ganda, dimana nilainya adalah
3. Diskriminan bernilai negatif  maka tidak terdapat akar riil melainkan terdapat 2 buah akar kompleks yang satu sama lain merupakan konjuget kompleks.
   

   dan

Jadi dapat disimpulkan akan diperoleh akar-akar berbeda jika dan hanya jika D≠0 dan akan diperoleh akar-akar riil jika dan hanya jika D>0.
Terdapat 3 cara dalam menyelesaikan persamaan kuadrat, yaitu :

1. Memfaktorkan, untuk bentuk persamaan kuadrat ax²+bx+c=0 maka kita harus menentukan dua buah bilangan yang jika dijumlahkan hasilnya b dan dikalikan menghasilkan c.
2. Melengkapkan kuadrat sempurna, merubah bentuk persamaan kuadrat menjadi bentuk kuadrat sempurna.
3. Menggunakan rumus abc.

contoh :
1. Carilah akar-akar dari persamaan kuadrat  x²-5x+6=0 !
Jawab :
x² – 5 x + 6 = 0  (cara memfaktorkan)
<=> ( x-2 ) ( x-3 ) = 0
<=> x- 2 = 0 atau x – 3 = 0
<=> x = 2     atau x = 3
Sehingga himpunan penyelesaiannya adalah {2, 3}

2.  Tentukan himpunan penyelesaian dari persamaan x² + 2x – 15 = 0 !
Jawab    :         x² + 2x – 15 = 0  (cara melengkapkan kuadrat sempurna)
x² + 2x = 15
Agar x² + 2x menjadi bentuk kuadrat sempurna maka harus ditambah dengan kuadrat dari setengah koefisien (½ .2)² = 1
Dengan menambahkan 1 pada kedua ruas, diperoleh :
x² + 2x + 1 = 15 + 1
<=>     (x + 1)² = 16
<=>     x + 1 = ± √16
<=>     x + 1 =  ± 4
<=>     x + 1 = 4 atau x + 1 = -4
<=>     x = 4 – 1 atau x = -4 -1
<=>     x = 3 atau x = -5
Sehingga  himpunan penyelesaiannya adalah {3, -5}

3.  Tentukan  himpunan penyelesaian persamaan x² + 4x – 12 = 0 !
Penyelesaian :      (menggunakan rumus abc)
Berdasarkan persamaan diketahui bahwa   a =1,  b = 4, c = -12 selanjutnya koefisien tersebut kita masukkan dalam rumus abc.
x_1,2 = (- b ± √b² – 4ac) /2a
<=>     x_{1,2 =(}  - 4  ± √42 – 4 . 1. (-12) )/2.1
<=>     x_{1,2 =  (}- 4  ± √16 + 48)/2
<=>     x_{1,2 =  (}- 4  ± √64)/2
<=>     x_{1,2 =  (}- 4  ± 8)/2
<=>     x_{1,2 =  (}- 4  +  8) /2           atau        x_{1,2 =  (}- 4   –  8 )/2
<=>     x₁ = 2                        atau       x₂ = -6
jadi himpunan penyelesaiannya adalah {2,-6}

4.  Tentukan persamaan kuadrat yang akar-akarnya 2 dan 5?
Jawab :
Cara 1 :    Memakai faktor, dengan memasukkan nilai akar kedalam rumus     (x-x₁) (x-x₂) = 0 
x₁ = 2 dan x₂ = 5
Maka   (x-x₁) (x-x₂) = 0
<=>     (x-2) (x-5) =  0
<=>     x² – 7x + 10 = 0
Jadi persamaan kuadratnya x² – 7x + 10 = 0
Cara 2   : Memakai rumus jumlah dan hasil kali akar-akar yaitu     x₂ – (x₁+x₂)x + x₁.x₂ = 0
x₁ = 2 dan x₂ = 5
Maka   x₂ – (x₁+x₂)x + x₁.x₂ = 0
Dengan (x₁ + x₂) = 2 + 5 = 7
x₁. x₂ = 2.5 = 10
Jadi persamaan kuadratnya x² – 7x + 10 = 0
Rumus jumlah dan hasil kali akar-akar diperoleh dari  penjumlahan dan perkalian rumus abc, perhatikan penjelasan berikut ini.
x₁ + x₂ =  -b  + √ b2 – 4ac   +  – b  – √ b2 – 4ac  
                               2a                              2a

=   -2b/a

=     -b/a
x_{1 .}x₂  =  -b  + √ b2 – 4ac   .  – b  – √ b2 – 4ac  
                              2a                           2a

= ( b² – (b² – 4 ac)) / 4a²
=  4ac /4a²
= c/a

Dari rumus umum persamaan kuadrat  y=ax²+bx+c=0, jika kita mencari akar-akar menggunakan pemfaktoran b diperoleh dari penjumlahan akar-akar dan c diperoleh dari perkalian akar-akar ( baca kembali metode penyelesaikan persamaan kuadrat diatas) sehingga kita dapat memperoleh pernyataan

x² – (x₁   + x₂) x + x₁.x₂ = 0