DERET GEOMETRI

Jika a, ar, ar², ar³, … ar^n-1 merupakan suatu barisan geometri, maka

a + ar + ar² + ar³ +  … ar^n-1 merupakan deret geometri.

Jadi Deret geometri adalah penjumlahan suku-suku dari barisan geometri. Apabila jumlah n suku pertama dari deret geometri  kita lambangkan dengan S_n, maka S_n dapat ditulis sebagai berikut

S_n = a + ar + ar² + ar³ +  … ar^n-1

Jika kita kalikan persamaan diatas dengan r  akan diperoleh

r S_n = ar + ar² + ar³ + ar⁴ + … ar^n-1 + arⁿ

selanjutnya kita kurangkan kedua persamaan tersebut

S_n = a + ar + ar² + ar³ +  … ar^n-1

r S_n = ar + ar² + ar³ + ar⁴ + … ar^n-1 + arⁿ

__________________________________-

S_n – r S_n = a – arⁿ

(1 – r)S_n = a(1 – rⁿ)

S_n=a(1 – rⁿ)/(1 – r)  jika r<1

untuk r>1 dengan cara yang sama rumus S_n dapat diperoleh, yaitu

Keterangan :

1. Rasio dari dua buah suku yang berurutan tetap
2. Barisan geometri akan naik jika U_n > U_n-1
3. Barisan geometri akan turun jika U_n < U_n-1
4. Barisan geometri akan bergantian naik turun jika r < 0
5. Terdapat hubungan U_n = S_n – S_n-1
6. Jika banyaknya suku ganjil maka suku tengahnya Ut=√U1.Un
7. Apabila terdapat 3 bilangan membentuk deret geometri, maka untuk memudahkan perhitungan kita misalkan saja bilangan tersebut dengan a/r,a,ar.

contoh soal :

tentukanlah jumlah dari deret geometri 2 + 6 + 18 + … + 4374 ?

Penyelesaian :

Diketahui Barisan geometri 2 + 6 + 18 + … + 4374

Sehingga a = 2 dan r = 3

U_n = ar^n-1

4374=2 . 3^n-1

4374/2=3^n-1

2187=3^n-1

3⁷=3^n-1

n – 1 = 7

n = 8

S_n=a(1 – rⁿ)/(1 – r)

S₈= 2(1 – 3²)/(1 – 3)

     = 6560

Jadi, jumlah 8 suku pertama deret geometri tersebut adalah  6560.

DERET GEOMETRI TAK HINGGA

 Suatu deret geometri jika n menuju tak hingga maka deret tersebut disebut deret geometri tak berhingga. Sehingga deret geometri tak berhingga merupakan penjumlahan dari

Jenis deret geometri tak hingga :

1. Deret Geometri Tak Hingga Konvergen

Deret dikatakan termasuk dalam deret  geometri tak hingga konvergen jika deret tersebut memiliki rasio |r| <1 atau -1< r <1. Dan jumlah deret geometri yang konvergen dirumuskan dengan pendekatan

S_n=a/(1 – r)

2. Deret Geometri Tak Hingga Divergen (menyebar)

Deret dikatakan termasuk dalam deret  geometri tak hingga divergen jika deret tersebut memiliki rasio |r| >1 atau r >1 atau r < -1. Dan jumlah deret geometri divergen tidak didefinisikan. contoh : 1+3+9+27+…

Catatan:a + ar + ar² + ar³ + ar⁴ + …….……….
Jumlah suku-suku pada kedudukan ganjil

a+ar² +ar⁴+ …….                     S_ganjil = a / (1-r²)

Jumlah suku-suku pada kedudukan genap

a + ar³ + ar⁵ + ……                  S_genap = ar / 1 -r²

Didapat hubungan : S_genap / S_ganjil = r